三次 Laurent 级数的连分数

我们为 $\mathbb{Q}[[t^{-1}]]$ 中若干族 Laurent 级数构造了连分数展开。据作者所知,这是自 1813 年 Gauss 推导出 $(1+t)^r$($r\in\mathbb{Q}$)的连分数展开以来该类的首个结果。作为一个应用,我们将超几何方法的一个类比应用于其中一族,并在参数 $a$ 和 $t$ 相对温和的条件下,推导出 $3x^3 - 3tx^2-3ax+at$($a,t\in\mathbb{Z}$)的一个实根与任意有理数之间距离 $|x - \frac{p}{q}|$ 的非平凡下界。我们还证明每个三次无理数 $x\in\mathbb{R}$ 都容许一个可显式计算的闭式(广义)连分数展开。最后,我们给出了一列三次无理数 $x$,它们具有任意(但有限)多个优于预期的有理逼近。即,它们满足:对任意 $\tau< 3+\frac{15\ln 2}{24}\approx 3.4332...$,不等式 $||qx|| < (H(x)^{\tau} qe^{c\sqrt{\ln q}})^{-1}$ 在整数 $q$ 中有多个解。