关于固定二次域中连分数的演化

我们证明了来自固定二次域的某些二次无理数序列的连分数展开周期的统计量趋近于由高斯-库兹明测度给出的“正态”统计量。作为副产品，我们分析了周期的增长率，例如，证明了对于固定的整数$k$和二次无理数$\al$，$k^n\al$的连分数展开周期长度等于$c k^n +o(k^{(1-\frac{1}{16})n})$，其中$c$为某个正常数。这改进了Cohn、Lagarias和Grisel的结果，并解决了Hickerson的一个猜想。这些结果源自本文的主要定理，该定理建立了关于Hecke图中沿某些路径的单周期测地线的等分布结果。这些结果是有效的，并给出了收敛速率，主要工具是谱间隙（矩阵系数的有效衰减）和$S$-算术齐性空间上的动力分析。