二次域上的周期连分数与椭圆曲线

设 $f(x)$ 为定义在二次域 $K$ 上的无平方因子四次多项式，且其首项系数为平方数。若 $\displaystyle \sqrt{f(x)}$ 的连分数展开是周期的，则其周期 $n$ 属于集合 $$\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,17,18,22,26,30,34\}.$$ 我们明确写出了所有在 $K$ 上出现周期 $n$ 但在 $\Q$ 上不出现，且 $\displaystyle n\not\in\{ 13,15,17\}$ 的多项式。此外，我们给出了在 $K$ 上存在周期为 $13, 15$ 或 $17$ 的此类连分数展开的充要条件。