亏格零奇异情形下的超椭圆连分数

通过在局部参数中展开为洛朗级数，可以定义曲线函数域中元素的连分数展开。考虑多项式的平方根 $\sqrt{D(t)}$ 会引出一个与多项式 Pell 方程相关的有趣理论。与经典 Pell 方程不同，相应的多项式方程并非总是可解，其可解性与由 $y^2=D(t)$ 定义的曲线的 Jacobian（或广义 Jacobian）上的算术条件相关。在此背景下，Zannier 在 \cite{zannier} 中已证明 $\sqrt{D(t)}$ 连分数展开的部分商次数序列总是周期的，即便展开本身并非如此。在本文中，我们详细研究了曲线 $y^2=D(t)$ 亏格为 0 的情形，建立了对应于连分数展开中出现特定次数部分商的显式几何条件。我们还证明了存在具有非周期展开的非平凡多项式 $D(t)$，使得无穷多个部分商的次数大于一。