多项式环上 Pell 方程解的性质

在经典理论中，二次无理数 $\sqrt{D}$ 的连分数展开的一个著名副产品是 $D$ 的 Pell 方程之解。众所周知，一旦 Pell 方程存在一个整数解，我们便可利用它生成所有其他解 $(u_n,v_n)_{n\in\Zee}$。我们关注的对象是 Pell 方程的多项式版本，其中整数被复系数多项式所替代。随后我们研究 $v_n(t)$ 的因子。特别地，我们证明在复多项式上，使得 $v_n(t)$ 具有重根的 $n$ 只有有限多个。将分析限制于 $\Qee[t]$，我们给出 $v_n(t)$ 次数不超过 $N$ 的“新”因子个数之上界。此外，我们证明当 $n\leq 3$ 时可找到 $v_n(t)$ 的所有“新”一次有理因子，而当 $n\leq 6$ 时可找到所有“新”二次有理因子。