Pell 方程的多项式解与实二次域中的基本单位

寻找 Pell 方程的多项式解颇受关注，因为此类解有时可在无穷类实二次域中确定基本单位。本文中，对于满足 $$c^{2}-f\,h^{2}=1,$$ 的每组正整数三元组 $(c,h,f)$，其中 $(c,h)$ 是满足该方程的最小整数对，导出了若干满足 $$c(t)^{2}-f(t)\,h(t)^{2}=1 \text{ 且 } (c(0),h(0),f(0)) = (c,h,f)$$ 的多项式集 $(c(t),h(t),f(t))$。此外，证明了该对 $(c(t),h(t))$ 构成上述 Pell 方程的基多项式解。在某些一般情形下（例如当 $\sqrt{f}$ 的连分数展开具有奇周期长度，或偶周期长度，或周期长度 $\equiv 2 \mod{4}$ 且中间商具有特定形式等）给出了 $\sqrt{f(t)}$ 的连分数展开。还讨论了在确定实二次域中基本单位的一些应用。