连续立方整数之和等于平方整数的通解

通过将 $(a+M-1)$ 与 $(a-1)$ 的三角数之差与之和的乘积分解为其最大公约数 $g$ 与剩余平方因子 $\delta^{2}$ 和 $\sigma^{2}$ 的乘积，从而得到 $c=g\delta\sigma$，以此求出了 $M$ 个连续立方整数 $(a+i)^{3}$（其中 $a>1$，$0\leq i\leq M-1$）之和等于平方整数 $c^{2}$ 的所有整数解 $\left(M,a,c\right)$。此外，针对若干特例和一般情况，$g$ 必须为整数的条件导出了广义 Pell 方程，其解可用来找出所有整数解 $\left(M,a,c\right)$，表明这些解是递归出现的。特别地，研究发现对于 $M$ 的所有奇数值、$a$ 的所有奇数平方值以及 $M$ 等于某整数平方两倍的所有偶数值的情况，始终至少存在一个解。