广义多边形数的三元通用和

对于某个整数 $x$，形如 $p_m(x)= \frac{(m-2)x^2-(m-4)x}{2} \ (m\ge 3)$ 的整数称为 $m$ 阶广义多边形数。对于某些正整数 $a,b,c$ 和某些整数 $1\leq i\leq j \leq k$，广义多边形数的三元和 $\Phi_{i,j,k}^{a,b,c}(x,y,z)=ap_{i+2}(x)+bp_{j+2}(y)+cp_{k+2}(z)$ 称为在 $\mathbb{Z}$ 上是通用的，如果方程 $\Phi_{i,j,k}^{a,b,c}(x,y,z)=n$ 对任意非负整数 $n$ 均有整数解 $x,y,z$。本文证明了 Sun 所猜想 的 $17$ 个广义多边形数三元和的通用性。