关于多边形数的通用和

对于 $m=3,4,\ldots$，$m$ 阶多边形数由 $p_m(n)=(m-2)\binom n2+n\ (n=0,1,2,\ldots)$ 给出。对于正整数 $a,b,c$ 和 $i,j,k\ge3$ 且 $\max\{i,j,k\}\ge5$，如果对于任意 $n=0,1,2,\ldots$ 都存在非负整数 $x,y,z$ 使得 $n=ap_i(x)+bp_j(y)+cp_k(z)$，则称三元组 $(ap_i,bp_j,cp_k)$ 是通用的。我们证明仅有 95 个通用三元组候选者（其中两个为 $(p_4,p_5,p_6)$ 和 $(p_3,p_4,p_{27})$），并猜想它们确实是通用三元组。对于许多三元组 $(ap_i,bp_j,cp_k)$（包括 $(p_3,4p_4,p_5),(p_4,p_5,p_6)$ 和 $(p_4,p_4,p_5)$），我们证明任意非负整数都可以表示为 $ap_i(x)+bp_j(y)+cp_k(z)$ 的形式，其中 $x,y,z\in\mathbb Z$。我们还展示了关于三元二次型的一些相关新结果，其中之一指出任意满足 $n\equiv 1\pmod{6}$ 的非负整数都可以写成 $x^2+3y^2+24z^2$ 的形式，其中 $x,y,z\in\mathbb Z$。此外，我们提出了几个相关猜想，其中之一指出对于任意 $m=3,4,\ldots$，每个自然数都可以表示为 $p_{m+1}(x_1)+p_{m+2}(x_2)+p_{m+3}(x_3)+r$，其中 $x_1,x_2,x_3\in\{0,1,2,\ldots\}$ 且 $r\in\{0,\ldots,m-3\}$。