带系数的四个五角数之和

五角数由 $p_5(n)=n(3n-1)/2\ (n=0,1,2,\ldots)$ 给出。令 $(b,c,d)$ 为三元组 $(1,1,2)$、$(1,2,3)$、$(1,2,6)$ 和 $(2,3,4)$ 之一。我们证明每个 $n=0,1,2,\ldots$ 都可写为 $w+bx+cy+dz$，其中 $w,x,y,z$ 为五角数，这首先由 Z.-W. Sun 于 2016 年猜想。特别地，任意非负整数都是五个五角数之和，其中两个相等；这改进了费马提出、柯西证明的经典结果。