佩尔及相关序列的连续项之和

我们研究了与佩尔序列中相邻项之和相关的新恒等式，该序列由 $P_{n} := 2P_{n-1}+P_{n-2}$（对于 $n\geq 2$）且 $P_{0}=0, P_{1}=1$ 定义，并将这些恒等式推广到许多类似序列。我们证明了，当且仅当 $4\mid N$ 时，$N>1$ 个连续佩尔数之和是另一个佩尔数的固定整数倍。我们考虑了由 $p(n) :=\ 2p(n-1)+p(n-k-1)$（对于 $n\geq k+1$）定义的广义佩尔 $(k,i)$-数，其中对于 $0\leq i\leq k-1$，有 $p(0)=p(1)=\cdots =p(i)=0$ 且 $p(i+1)=\cdots = p(k)=1$，并证明了 $N=2k+2$ 个连续项之和是该序列中另一项的固定整数倍。我们还证明了，对于广义佩尔 $(k,k-1)$-数，当 $N$ 和 $k$ 为奇数时，不存在这样的关系。我们给出了斐波那契及其他相关二阶递归序列的类似结果。