k-广义 Pell 序列中的重码数

设 $k\geq 2$，并设 $(P_{n}^{(k)})_{n\geq 2-k}$ 为 $k$-广义 Pell 序列，定义为 \begin{equation*}P_{n}^{(k)}=2P_{n-1}^{(k)}+P_{n-2}^{(k)}+...+P_{n-k}^{(k)}\end{equation*} 对 $n\geq 2$，初值为 \begin{equation*}P_{-(k-2)}^{(k)}=P_{-(k-3)}^{(k)}=\cdot \cdot \cdot =P_{-1}^{(k)}=P_{0}^{(k)}=0,P_{1}^{(k)}=1. \end{equation*} 本文处理丢番图方程 \begin{equation*}P_{n}^{(k)}=d\left( \frac{10^{m}-1}{9}\right)\end{equation*} 在正整数 $n,m,k,d$ 中且 $k\geq 2,$ $m\geq 2$ 与 $1\leq d\leq 9$ 的解。我们将证明序列 $\left( P_{n}^{(k)}\right)_{n\geq 2-k}$ 中至少两位的重码数为 $P_{5}^{(3)}=33$ 与 $P_{6}^{(4)}=88$。