关于作为$k$阶广义Fibonacci数的Pell方程的$x$坐标

对于整数$k\geq 2$，设$\{F^{(k)}_{n}\}_{n\geqslant 2-k}$为$k$阶广义Fibonacci序列，该序列以$0,\ldots,0,1$（共$k$项）开始，之后的每一项是前$k$项之和。在本文中，对于无平方因子的整数$d\geq 2$，我们证明参与Pell方程$x^{2}-dy^{2}=\pm 1$的正整数$x$中至多有一个值是$k$阶广义Fibonacci数，除了我们完全刻画的一对参数例外。本文扩展了文献[17]中$k=2$的情形和文献[16]中$k=3$的情形的工作。