关于 $k-$Fibonacci 数的最大素因子

记 $P(m)$ 为整数 $m\geq 2$ 的最大素因子，并规定 $P(0)=P(1)=1$。对于整数 $k\geq 2$，设 $(F_{n}^{(k)})_{n\geq 2-k}$ 为 $k-$广义 Fibonacci 序列，其前 $k$ 项为 $0,...,0,1$，此后每一项均为前 $k$ 项之和。本文证明：若 $n\geq k+2$，则 $P(F_n^{(k)})>c\log\log n$，其中 $c>0$ 为一个可有效计算的常数。此外，我们确定了所有最大素因子小于或等于 7 的 $k-$Fibonacci 数 $F_n^{(k)}$。