Fibonacci 数列的子序列与幂整除性

设 $F_n$ 为第 $n$ 个 Fibonacci 数。设 $m, n$ 为正整数。定义序列 $(G(k,n,m))_{k\geq 1}$ 满足 $G(1,n,m) = F^m_n$，且对所有 $k\geq 1$ 有 $G(k+1,n,m) = F_{nG(k,n,m)}$。我们证明了对所有 $k, m, n\in\mathbb N$，$F_n^{k+m-1}\mid G(k,n,m)$。随后我们计算了 $\frac{G(k,n,m)}{F_n^{k+m-1}}\pmod{F_n}$。