斐波那契数列模10子序列的诱人性质

斐波那契数列模 $m$ 的序列,我们记为 $\left(\mathcal{F}_{m,n}\right)_{n=0}^\infty$,其中 $\mathcal{F}_{m,n}$ 为斐波那契数 $F_n$ 模 $m$,自 D.~D.~Wall 1960 年的开创性论文探讨这些序列周期的众多性质以来,一直是数学中备受研究的对象。自 Lagrange 时代起便已知对每个 $m$,$\left(\mathcal{F}_{m,n}\right)_{n=0}^\infty$ 是周期的。我们考察 $m=10$ 时的该序列,得到周期为 60 的序列。特别地,我们探讨其由 $\left(\mathcal{F}_{10,n}\right)_{n=0}^\infty$ 中从某项 $\mathcal{F}_{10,k}$(其中 $0 \leq k \leq 59$)起每隔 $r$ 项的子序列。更精确地,我们考虑子序列 $\left(\mathcal{F}_{10,k+rj}\right)_{j=0}^\infty$,我们证明它们自身是周期的且长度整除 60。当我们改变 $k$ 和 $r$ 值时,许多有趣的性质显现出来。例如,对某些 $r$ 值,相应子序列惊人地服从斐波那契递推关系;即任意两个连续的子序列项之和模 10 等于下一项。此外,对所有与 60 互素的 $r$ 值,子序列 $\left(\mathcal{F}_{10,k+rj}\right)_{j=0}^\infty$ 恰好与原母序列 $\left(\mathcal{F}_{10,n}\right)_{n=0}^\infty$(或其循环移位)正向或反向一致。我们揭开了这一现象的神秘面纱并探索了这些子序列的许多其他诱人性质。