幂次斐波那契序列模斐波那契数的周期性

设 ${\mathcal F}=(F_i:i\ge 0)$ 为斐波那契数序列，$j$ 和 $e$ 为非负整数。我们研究幂次斐波那契序列 ${\mathcal F}^e(F_j)=(F_i^e\pmod{F_j}: i\ge 0)$ 的周期性。结果表明，对每个 $j,e\ge 1$，序列 ${\mathcal F}^e(F_j)$ 都是周期的，并算出了其周期。该结果此前对 ${\mathcal F}(F_j)$（即 $e=1$ 的情形）已知。对 $e\in \{1, 2\}$，给出了归一化剩余 $\rho_i\equiv F_i^e\pmod{F_j}$（其中 $0\le \rho_i<F_j-1$）的值。