关于模 $m$ 下周期序列周期的注记

设 $\{G_n\}$ 为模 $m$ 下的整数周期序列，并设 $\{SG_n\}$ 为由 $SG_n:= \sum_{k=0}^nG_k$ (mod $m$) 定义的的部分和序列。我们给出了 $\{SG_n\}$ 周期的一个公式。我们还证明，对于广义斐波那契序列 $F(a,b)_n$，若满足 $F(a,b)_0=a$ 且 $F(a,b)_1=b$，则有 $$S^i F(a,b)_n = S^{i-1}F(a,b)_{n+2}-{n+i \choose i-2}a-{n+i \choose i-1} b$$ 其中 $S^i F(a,b)_n$ 是由 $S^i F(a,b)_n := \sum_{k=0}^n S^{i-1}F(a,b)_k$ 递归定义的第 $i$ 阶部分和序列。这是斐波那契序列 $F_n$ 著名公式 $$\sum_{k=0}^n F_k = F_{n+2} -1$$ 的推广形式。