Lucas 数列在 $3^k$ 模下的残数

由 $F_0=0$, $F_1=1$, $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ 定义的斐波那契数列在每个 $k\in\mathbb{N}$ 上的最短周期长度为 $4\cdot 3^{k-1}$。2011 年，Bundschuh 和 Bundschuh \cite{bundschuh3} 给定了每个残数 $0\leq b\leq 3^k-1$ 在该最短周期中的频率。特别是，他们的结果暗示了斐波那契数列在模 $3$ 下不可稳定。在本文中，我们将此结果扩展到其他 Lucas 数列。更具体地，我们给出以 $u_0=0$, $u_1=1$, $u_n=Pu_{n-1}+u_{n-2}$ 定义的 Lucas 数列以及以 $v_0=2$, $v_1=P$, $v_n=Pv_{n-1}+v_{n-2}$ 定义的 Lucas 数列的类似结果。特别是，我们的结果暗示了这些 Lucas 数列中没有任何一个在模 $3$ 下都是稳定的。