关于 Collatz 3n + 1 序列的结构与行为

研究表明，每个 Collatz 序列 $C(s)$ 仅由结构相同的有限子序列组成：对于 $s\equiv9\ (mod\ 12)$ 为 $C^h(s)$，对于 $s\equiv3,7\ (mod\ 12)$ 为 $C^t(s)$。对于特定剩余类（$mod\ 12\cdot2^h$）或（$mod\ 12\cdot2^{t+1}$）的起始数，这些有限子序列具有相同的长度 $h,t$。猜想对于每个 $h,t\geq2$，所有允许剩余类的数量恰好由斐波那契数列给出。这一猜想已在 $2\leq h,t\leq50$ 范围内得到证明。Collatz 猜想等价于如下猜想：对于每个 $s\in\mathbb{N},s>1$，存在 $k\in\mathbb{N}$ 使得 $T^k(s)<s$。使 $T^k(s)<s$ 成立的最小 $k\in\mathbb{N}$ 称为 $s$ 的停止时间，记为 $\sigma(s)$。研究表明，如果每个起始数 $s\equiv3,7\ (mod\ 12)$ 都具有有限的停止时间，则 Collatz 猜想成立。我们将 $\tau(s)$ 定义为对于起始数 $s\equiv3,7\ (mod\ 12)$，在达到 $\sigma(s)$ 之前 $C^t(s)$ 的数量。特定剩余类（$mod\ 3\cdot2^{\sigma(s)}$）的起始数具有相同的停止时间 $\sigma(s)$ 和 $\tau(s)$。利用 $\tau(s)$ 证明了几乎所有 $s\equiv3,7\ (mod\ 12)$ 都具有有限的停止时间，且统计上三分之二的 $s\equiv3,7\ (mod\ 12)$ 满足 $\tau(s)=1$。此外，还探讨了若 $C(s)$ 增长至无穷大所导致的后果。