Collatz 3x+1 函数停时行为的新结果

设 $\sigma_n=\lfloor1+n\cdot\log_23\rfloor$。对于 Collatz 3x+1 函数，对每个 $n\in\mathbb{N}$，存在一组不同的起始数 $s$ 的剩余类 $(\text{mod}\ 2^{\sigma_n})$，其有限停时 $\sigma(s)=\sigma_n$。令 $z_n$ 为对每个 $n\geq0$ 的这些剩余类的数量，如 OEIS 中 A100982 所列。据推测，对每个 $n\geq4$，$z_n$ 的值由以下公式给出：\begin{align*} z_n=\frac{(m+n-2)!}{m!\cdot(n-2)!}-\sum_{i=2}^{n-1}\binom{\big\lfloor\frac{3(n-i)+\delta}{2}\big\rfloor}{n-i}\cdot z_i, \end{align*} 其中 $m=\big\lfloor(n-1)\cdot\log_23\big\rfloor-(n-1)$，且 $\delta\in\mathbb{Z}$ 在求和中以 5 或 6 项为间隔取不同的值。这使我们能够创建一个迭代算法，对每个 $n>6$ 生成 $z_n$。