确定Collatz问题中任意有限长度的单调等步长序列

本文为著名的Collatz猜想（或3x+1问题）提出了一个公式表达，它可精确定位任意自然数在Collatz映射轨道中的所有增长点。在正整数上的Collatz映射$Col: \mathcal{N}+1 \rightarrow \mathcal{N}+1$定义为$x_{n+1}=Col(x_n)=(3 x_n +1)/2^{m_n}$，其中$x_{n+1}$恒为奇数且$m_n$是消除任何可能偶数值所需的步长。任意正整数$x_1$的Collatz轨道由序列$<x_1$; $x_2\doteq Col(x_1)$; $\cdots$ $x_{n+1}\doteq Col(x_n)$; $\cdots>$表示，且若$Col(x_n)>x_n$成立则$x_n$被定义为增长点；我们证明每个增长点均为“$4y+3$”的形式，其中$y$为任意自然数。此外，我们推导出：对任意给定正整数$n$，总存在自然数$x_1$，以相同步长开启长度为$n$的单调增或单调减Collatz序列。对任意给定正整数$n$，也可确定一类共享长度为$n$的相同轨道节奏的轨道。