作为自同构凯莱色图的Collatz函数：$an+b$猜想的可判定性与$3n+1$猜想的证明

Collatz 猜想指出，对奇数执行 $n\mathrm{\to }\mathrm{3}n\mathrm{+1}$、对偶数执行 $n\mathrm{\to }n\mathrm{/2}$ 的重复步骤，等价于在一个连通 Collatz 图的‘平凡’循环根 $4\to 2\to 1\to 4\to \dots$ 中，沿根路径走向分支数 $c=4$ 的游走。具有反向箭头 $n \to 2n$ 与 $n \to (n-1)/3$ 的 Collatz 图可转化为一个 3-正则自同构凯莱色图 $T_{\ge 0}$，其节点为除以 $18$ 余 $4$ 或 $16$ 的分支数，构成同余类 $[4,16]_{18}$。将 $2^k$ 个广度优先排序的根路径用二进制数线上的 $2^k$ 个二进制数标记（$k=1,2,3,\dots$），并将它们与这些根路径的 $2^k$ 个输出数配对，得到 $2^k$ 个配对数。这些配对分支数的 3-正则凯莱图可转化为一个 4-正则 Middle Pages 图。该 4-正则图为其同余类 $[4,16]_{18}$ 中所有配对分支数提供了一条往返于平凡根数对 {0,c=4} 的唯一欧拉回路。这证明了 Collatz 的 $3n+1$ 猜想。某个特定的 $an+b$ 猜想是否为其所有配对分支数提供欧拉回路，可由它是否为小于 $2a^3$ 的配对分支数提供这样的回路来决定。