强充分集与 3x+1 图中算术序列的分布
动力系统
2012-04-23 v2
摘要
3x+1 猜想断言每个正整数的 T-轨道都包含 1，其中 T 将 x 映射为 x/2（当 x 为偶数）或 (3x+1)/2（当 x 为奇数）。如果每个正整数的轨道都与集合 S 中某个成员的轨道相交，则称正整数集合 S 是充分的。在先前的论文中已证明每个算术序列都是充分的。本文进一步研究了充分性的概念。我们在自然数中构造了具有任意低渐近密度的充分集。我们确定了由映射 x↦x/2 和 x↦(3x+1)/2 生成的群在模 b（b 与 6 互质）下的结构，并研究了这些群在与 3x+1 动力系统相关的有向图上的作用。由此我们获得了关于算术序列分布的信息，并取得了关于某些算术序列的令人惊讶的新结果。例如，我们证明每个正整数的向前 T-轨道都包含一个模 9 同余于 2 的元素，且每个非平凡循环和发散轨道都包含一个模 27 同余于 20 的元素。我们将这些结果推广，找到了许多以此方式强充分的其他集合。最后，我们证明了 3x+1 有向图对于任意 n 在模 2^n 下表现出令人惊讶且优美的自对偶性，并证明其对于任何其他模数不具备此性质。随后，我们利用更深入的先前结果构造了额外的非平凡强充分集族，证明了对于任意 k<n，可以以一种自然的方式将模 2^n 的有向图“折叠”到模 2^k 的有向图上。
引用
@article{arxiv.1204.3904,
title = {Strongly sufficient sets and the distribution of arithmetic sequences in the 3x+1 graph},
author = {Keenan Monks and Kenneth G. Monks and Kenneth M. Monks and Maria Monks},
journal= {arXiv preprint arXiv:1204.3904},
year = {2012}
}