在$3x+1$猜想成立时大多数轨道的一种非均匀分布性质

令 $T(n)=\left\{\begin{array}{ll}3n+1&(n\hbox{ odd})\frac n2&(n\hbox{ even})\end{array}\right.$ ($n\in\mathbb Z$)。我们称整数 $n$ 的“轨道”为集合 $$\mathcal O_n:=\{m\in\mathbb Z\;:\;\exists k\ge0,\ m=T^k(n)\}$$ 并令 $c_i(n):=\#\{m\in\mathcal O_n\;:\;m\equiv i\hbox{ mod.}18\}$。设 $W$ 为这样的整数集合：其轨道包含 $1$，且在以下意义下关于模 $18$ 在集合 $I:=\{1,5,7,11,13,17\}$（即 $\{1,\dots,18\}$ 中奇数且不被 $3$ 整除的元素）的六个元素之间近似均匀分布。更精确地： $$W:=\Big\{n\in\mathbb N\;:\exists k\ge0,\ T^k(n)=1\hbox{ and }\forall i\in I,\ \frac{c_i(n)}{\sum_{i\in I}c_i(n)}\le\frac16+0.0215\Big\}.$$ 我们证明 $W$ 在 $\mathbb N$ 中密度为 $0$。因此，若 $3x+1$ 猜想为真，则大多数正整数 $n$ 满足 $$\frac{\max_{i\in I}c_i(n)}{\sum_{i\in I}c_i(n)}>\frac16+0.0215.$$