关于 $q$ 型 $3x+1$ 动力系统

$3x+1$ 猜想断言，每个正整数 $x$ 的 $T$-轨迹都包含 $1$，其中 $T$ 将 $x$ 映射为 $x/2$（当 $x$ 为偶数时），或映射为 $(3x+1)/2$（当 $x$ 为奇数时）。 Several 作者研究了类似映射 $T_q$，其将 $x\in F_2[q]$ 映射为 $x/q$（当 $q$ 整除 $x$ 时），或映射为 $((1+q)x+1)/q$（否则）。特别是，他们证明了每个多项式的 $T_q$-轨迹都包含 $1$。这似乎类似于 $3x+1$ 猜想，但并不直接证明该猜想，因为涉及的动力系统不存在于正整数与多项式之间任何对应关系。本文证明 $T_q$ 实际上可以通过延伸其定义域至形式幂级数环 $F_2[[q]]$ 与 2 整域 $\mathbb{Z}_2$，与 $T$ 实现同构。因此，哪些形式幂级数对应正整数，而非多项式。我们进一步推广此结果至函数族 $T_{A,B}\colon F_2[[q]]\to F_2[[q]]$，其映射 $x$ 为 $x/q$（当 $q$ 整除 $x$ 时），或为 $(Ax+B)/q$（否则），其中 $A,B\in F_2[[q]]$ 均不被 $q$ 整除。与 $T_q$ 不同，某些映射具有如下性质：多项式对应通过同构与 $T$ 关联的正整数，其 $T$-轨迹都包含 $1$。我们证明 $T_{1,1+q^2}$ 即为此类映射，并具有额外的良好性质：每个多项式的轨迹最终进入唯一的 $2$-循环或两个固定点之一。最后，通过将 $q$ 取为 $2$ 并将结果形式级数解释为 2 整域整数，可将对应自然数的幂级数表示为分母为奇数的有理数。寻找一种简单闭式对应关系或许即可解决该猜想本身，我们为 $T_{1,1+q^2}$ 与 $T_q$ 提供了一些数据。