$\mathbb{R}$中的3x+1周期性猜想

$3x+1$映射$T$在$2$-进整数$\mathbb{Z}_2$上定义为：对偶数$x$有$T(x)=x/2$，对奇数$x$有$T(x)=(3x+1)/2$。至今仍未证明在$T$迭代下任意有理$2$-进整数的轨道最终为循环。一个$2$-进整数当且仅当其由$1$和$0$构成的表达式最终周期时是有理的。我们证明$3x+1$共轭$\Phi$将非周期$v\in\mathbb{Z}_2$映到非周期$2$-进整数，条件是$\underline{\lim}\;(\frac{h}{\ell})_{\ell=1}^{\infty} > \frac{\ln(2)}{\ln(3)}$，其中$h$为$v$前$\ell$位数字中$1$的个数，并满足如下约束：若存在具有非循环轨道的有理$2$-进整数，则必有$\underline{\lim}\;(\frac{h}{\ell})_{\ell=1}^{\infty}=\frac{\ln(2)}{\ln(3)}$。我们将$\Phi$作为$\mathbb{R}$中的无穷级数研究，得到负的无理数，并计算了它们的非周期$2$-进展开。我们发现了以Sturmian词作为奇偶向量的$x$轨道的显著行为。我们还得到了$\Phi$在$\mathbb{R}$中项的惊人结果。我们在$3$-进整数环中定义了$T$的第$\ell$次迭代（$\ell\rightarrow \infty$），并得到正的无理数，计算了它们的非周期$3$-进展开。