关于移位斐波那契数的最小公倍数

设 $(F_n)_{n \geq 1}$ 为斐波那契数列。Guy 与 Matiyasevich 证明了 \begin{equation*} \log \operatorname{lcm} (F_1, F_2, \dots, F_n) \sim \frac{3 \log \alpha}{\pi^2} \cdot n^2 \quad \text{as } n \to +\infty, \end{equation*} 其中 $\operatorname{lcm}$ 为最小公倍数，$\alpha := (1 + \sqrt{5}) / 2$ 为黄金比。我们证明对 $\{-1,+1\}$ 中每个周期序列 $\mathbf{s} = (s_n)_{n \geq 1}$，存在可有效计算的有理数 $C_{\mathbf{s}} > 0$ 使得 \begin{equation*} \log \operatorname{lcm} (F_3 + s_3, F_4 + s_4, \dots, F_n + s_n) \sim \frac{3 \log \alpha}{\pi^2} \cdot C_\mathbf{s} \cdot n^2 , \quad \text{as } n \to +\infty . \end{equation*} 此外，我们表明若 $(s_n)_{n \geq 1}$ 是 $\{-1,+1\}$ 中独立均匀分布的随机变量序列，则 \begin{equation*} \mathbb{E}\big[\log \operatorname{lcm} (F_3 + s_3, F_4 + s_4, \dots, F_n + s_n)\big] \sim \frac{3 \log \alpha}{\pi^2} \cdot \frac{15 \operatorname{Li}_2(1 / 16)}{2} \cdot n^2 , \quad \text{as } n \to +\infty , \end{equation*} 其中 $\operatorname{Li}_2$ 为二重对数函数。