关于平移幂的最小公倍数

设 $a \geq 2$ 为整数。我们证明对 $\{-1, +1\}$ 中每个周期序列 $(s_n)_{n \geq 1}$，存在可有效计算的有理数 $C_\mathbf{s} > 0$，使得当 $n \to +\infty$ 时，\begin{equation*} \log\operatorname{lcm}(a + s_1, a^2 + s_2, \dots, a^n + s_n) \sim C_\mathbf{s} \cdot \frac{\log a}{\pi^2} \cdot n^2 , \end{equation*} 其中 $\operatorname{lcm}$ 表示最小公倍数。此外，我们表明若 $(s_n)_{n \geq 1}$ 是 $\{-1, +1\}$ 中独立且均匀分布的随机变量序列，则当 $n \to +\infty$ 时，以概率 $1 - o(1)$ 有 \begin{equation*} \log\operatorname{lcm}(a + s_1, a^2 + s_2, \dots, a^n + s_n) \sim 6 \operatorname{Li}_2\!\big(\tfrac1{2}\big) \cdot \frac{\log a}{\pi^2} \cdot n^2 , \end{equation*} 其中 $\operatorname{Li}_2$ 为二重对数函数。