等差数列最小公倍数的非平凡上界

本文建立了有限等差数列连续项最小公倍数的若干非平凡且有效的上界。具体而言，我们证明对任意两个互素正整数 $a$ 与 $b$，其中 $b\geq 2$，有\n$$\mathrm{lcm}\left(a,a+b,\dots,a+nb\right) \leq \left(c_1\cdot b\log b\right)^{n+\left\lfloor \frac{a}{b}\right\rfloor}~~~~(\forall n\geq b+1),$$\n其中 $c_1=41.30142$。若进一步 $b$ 为素数且 $a<b$，则我们证明对任意 $n\geq b+1$，有 $\mathrm{lcm}\left(a,a+b,\dots,a+nb\right) \leq \left(c_2\cdot b^{\frac{b}{b-1}}\right)^n$，其中 $c_2=12.30641$。最后，我们应用这些不等式估计由 $M(n):=\frac{1}{\varphi(n)}\sum_{\substack{1\leq\ell\leq n \\ \ell \wedge n=1}}\frac{1}{\ell}$（$\forall n \geq 1$）定义的算术函数 $M$，以及广义切比雪夫函数 $\theta(x;k,\ell)$ 的某些取值。