某些二次序列最小公倍数非平凡有效下界

本文致力于研究数 $L_{c,m,n} := \mathrm{lcm}\{m^2+c ,(m+1)^2+c , \dots , n^2+c\}$，其中 $c,m,n$ 为满足 $m \leq n$ 的正整数。确切地，我们证明 $L_{c,m,n}$ 是 rational 数 $$\frac{\displaystyle\prod_{k=m}^{n}\left(k^2+c\right)}{c \cdot (n-m)!\displaystyle\prod_{k=1}^{n-m}\left(k^2+4c\right)}$$ 的倍数，并（作为推论）导出 $L_{c,m,n}$ 的一些非平凡下界。例如我们证明：若 $n- \frac{1}{2} n^{2/3} \leq m \leq n$，则有 $L_{c,m,n} \geq \lambda(c) \cdot n e^{3 (n - m)}$，其中 $\lambda(c) := \frac{e^{- \frac{2 \pi^2}{3} c - \frac{5}{12}}}{(2 \pi)^{3/2} c}$。此外必须指出，我们聚焦于交换代数的方法是新颖的，且不同于 Farhi、Oon 和 Hong 先前所用的方法。