关于“林尼克数”的 Cesàro 平均

设 $\Lambda$ 为 von Mangoldt 函数，$r_{Q}\left(n\right)=\sum_{m_{1}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}=n}\Lambda\left(m_{1}\right)$ 为可表示为一个素数与两个平方数之和的数（为简洁起见，我们称之为林尼克数）的计数函数。设 $N$ 为充分大的整数，设 $k>3/2$，并设 $M_{i}\left(N,k\right),\, i=1,\dots,k$ 为依赖于 $J_{v}\left(u\right)$ 的适当参数，其中 $J_{v}\left(u\right)$ 表示复阶 $v$ 实变量 $u$ 的贝塞尔函数。我们证明 $$\sum_{n\leq N}r_{Q}\left(n\right)\frac{\left(N-n\right)^{k}}{\Gamma\left(k+1\right)}=M_{1}\left(N,k\right)+M_{2}\left(N,k\right)+M_{3}\left(N,k\right)+M_{4}\left(N,k\right)+O\left(N^{k+1}\right).$$ 我们还证明，使用此技术，界 $k>3/2$ 是最优的。