Hardy-Littlewood 数的 Cesàro 平均

设 $\Lambda$ 为 von Mangoldt 函数，$r_{\textit{HL}}(n) = \sum_{m_1 + m_2^2 = n} \Lambda(m_1)$ 为 Hardy-Littlewood 数的计数函数。设 $N$ 为充分大的整数。我们证明，对于 $k > 1$，有 $$\begin{align}\sum_{n \le N} r_{\textit{HL}}(n) \frac{(1 - n/N)^k}{\Gamma(k + 1)} &= \frac{\pi^{1 / 2}}2 \frac{N^{3 / 2}}{\Gamma(k + 5 / 2)} - \frac 12 \frac{N}{\Gamma(k + 2)} - \frac{\pi^{1 / 2}}2 \sum_{\rho} \frac{\Gamma(\rho)}{\Gamma(k + 3 / 2 + \rho)} N^{1 / 2 + \rho}\\ &+ 1/2 \sum_{\rho} \frac{\Gamma(\rho)}{\Gamma(k + 1 + \rho)} N^{\rho} + \frac{N^{3 / 4 - k / 2}}{\pi^{k + 1}} \sum_{\ell \ge 1} \frac{J_{k + 3 / 2} (2 \pi \ell N^{1 / 2})}{\ell^{k + 3 / 2}}\\ &- \frac{N^{1 / 4 - k / 2}}{\pi^k} \sum_{\rho} \Gamma(\rho) \frac{N^{\rho / 2}}{\pi^\rho} \sum_{\ell \ge 1} \frac{J_{k + 1 / 2 + \rho} (2 \pi \ell N^{1 / 2})} {\ell^{k + 1 / 2 + \rho}} + \mathcal{O}_k(1),\end{align}$$ 其中 $\rho$ 遍历 Riemann zeta 函数 $\zeta(s)$ 的非平凡零点，$J_{\nu} (u)$ 表示复阶 $\nu$、实自变量 $u$ 的 Bessel 函数。