von Mangoldt 函数与高阶除数函数的相关性 I. 长位移范围

我们证明对于几乎所有 $h \in [-H,H]$，和式 $\sum_{X < n \leq 2X} \Lambda(n) \Lambda(n+h)$、$\sum_{X < n \leq 2X} d_k(n) d_l(n+h)$ 与 $\sum_{X < n \leq 2X} \Lambda(n) d_k(n+h)$ 的期望渐近成立，只要 $X^{8/33+\varepsilon} \leq H \leq X^{1-\varepsilon}$，且误差项在平均意义上比平凡界多节省对数函数的任意幂次。Mikawa、Perelli-Pintz 以及 Baier-Browning-Marasingha-Zhao 的先前工作覆盖了 $H \geq X^{1/3+\varepsilon}$ 的范围。我们还得到了 $\sum_n \Lambda(n) \Lambda(N-n)$ 的类似结果。我们的证明使用圆法以及一些振荡积分估计（遵循 Zhan 的论文）将问题化简为建立某些与“Type $d_3$”和“Type $d_4$”和（以及其他更易处理的求和）相关的 Dirichlet 多项式的均值估计。在对 Type $d_3$ 求和应用 Hölder 不等式后，剩下两个表达式，其中一个我们可以使用 Jutila 的短区间均值定理控制，另一个我们可以使用 Robert 和 Sargos 的指数和估计控制。Type $d_4$ 求和类似地利用经典的 $L^2$ 均值定理和经典的 van der Corput 指数和估计处理。