短区间上算术函数的高阶一致性 I. 所有区间

我们研究短区间 $(X,X+H]$ 上 Möbius 函数 $\mu$、von Mangoldt 函数 $\Lambda$ 以及除数函数 $d_k$ 的高阶一致性性质，其中对于固定常数 $0 \leq \theta < 1$ 及任意 $\varepsilon>0$，有 $X^{\theta+\varepsilon} \leq H \leq X^{1-\varepsilon}$。更确切地说，设 $\Lambda^\sharp$ 和 $d_k^\sharp$ 分别为 $\Lambda$ 和 $d_k$ 的合适逼近，且 $\mu^\sharp = 0$，我们证明例如对于任意 nilsequence $F(g(n)\Gamma)$，当 $\theta = 5/8$ 且 $f \in \{\Lambda, \mu, d_k\}$ 或 $\theta = 1/3$ 且 $f = d_2$ 时，有 $$\sum_{X < n \leq X+H} (f(n)-f^\sharp(n)) F(g(n) \Gamma) \ll H \log^{-A} X$$。作为推论，我们证明对于这些选定的 $f,\theta$，短区间 Gowers 范数 $\|f-f^\sharp\|_{U^s(X,X+H]}$ 对任意固定的 $s$ 也是渐近小的。作为应用，我们给出了短区间内素数线性方程解数的渐近公式，并证明了短区间内素数的多重遍历平均在 $L^2$ 中收敛。我们的创新包括使用多参数 nilsequence 等分布定理来控制第二型 (type $II$) 和，以及将双曲线邻域初等分解为算术级数来控制 $I_2$ 型 (type $I_2$) 和。