短区间上的加性函数、间隙与 Erdős 猜想

为了研究加性函数的局部行为，我们发展了 Matomäki–Radziwill 定理的类似形式，使得我们能用一般加性函数在典型短区间上的长平均来近似其平均。作为该处理的一部分，我们使用了作者最近证明的针对除数有界乘性函数的 Matomäki–Radziwill 定理的一个变体。我们考虑了这些方法的两类应用。第一个应用表明，对于加性函数 $g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C}$，若其平均间隙 $|g(n)-g(n-1)|$ 的大小有任何非平凡的节省，则意味着 $g$ 必须具有小的矩，即 $g(n)$ 与其均值的偏差在平均意义下很小。我们还得到了关于间隙二阶矩的此类结果的一个变体。这补充了 Elliott 与 Hildebrand 的结果。作为第二个应用，我们在 Erdős 关于刻画 $\log n$ 为唯一“几乎处处”递增的加性函数（相差常数因子）的旧问题上取得了部分进展。我们表明，若一个加性函数几乎处处非减，则它几乎处处被一个常数倍的对数很好地逼近。我们还表明，若 $g$ 是完全加性函数，且例外集 $\frac{1}{X}|\{n \leq X : g(n) < g(n-1)\}|$ 的密度以 $O((\log X)^{-2-\epsilon})$ 衰减，且 $g$ 在素数上不经常极端大（在精确意义下），则 $g$ 恒等于一个常数倍的对数。