加性函数之和与积的分布

著名的 Erd\H{o}s--Kac 定理粗略地说,满足某些温和假设的加性函数的值呈正态分布。在此后的岁月里,类似的正态分布律已被证明对若干非加性函数以及在某些自然数子集上的顺从算术函数成立。延续这一思路,我们证明:若 $g_1(n), \ldots, g_k(n)$ 是一组满足某些温和假设、且成立 Erd\H{o}s--Kac 型正态分布律的函数,且 $Q(x_1, \ldots, x_k)$ 是一个具有非负实系数的多项式,则 $Q(g_1(n), \ldots, g_k(n))$ 也服从正态分布律。我们还证明,若输入集合 $n$ 限制为自然数的某些子集(如平移素数),也可得到类似结果。我们的证明使用矩方法。最后我们给出定理作用的一些例子。