关于光滑与超光滑整数的 Erd\H{o}s-Kac 定理

我们针对集合 $S(x,y)=\{n\leq x: p|n \Rightarrow p\leq y \}$ 证明了一个 Erd\H{o}s-Kac 类型的定理。若 $\omega (n)$ 为 $n$ 的素因子个数，我们利用矩方法证明了在 $y$ 的特定范围内，$n \in S(x,y)$ 的 $\omega(n)$ 分布呈高斯分布。本方法的优势在于，它以更为简洁的证明恢复了 $u=o(\log \log x )$（其中 $u=\frac{\log x}{\log y}$）范围内的经典结论。