Erdős-Kac 定理的一个推广

给定 $n\in\mathbb{N}$，令 $\omega\left(n\right)$ 表示 $n$ 的不同素因子个数，令 $Z$ 表示标准正态变量，令 $P_{n}$ 表示 $\left\{ 1,\ldots,n\right\}$ 上的均匀分布。Erd\H{o}s-Kac 定理指出 $$P_{n}\left(m\le n:\omega\left(m\right)-\log\log n\le x\left(\log\log n\right)^{1/2}\right)\to\mathbb{P}\left(Z\le x\right)$$ 当 $n\to\infty$；即，若 $N\left(n\right)$ 是 $\lbrace 1,\ldots,n \rbrace$ 上的均匀变量，则 $\omega\left(N\left(n\right)\right)$ 当 $n\to \infty$ 时渐近正态分布，其均值与方差均等于 $\log \log n$。本文的贡献是通过考虑均匀概率质量 $\frac{1}{n}$ 的扰动，将 Erd\H{o}s-Kac 定理推广到更大一类随机变量。记 $\mathbb{P}_{n}$ 为 $\left\{ 1,\ldots,n\right\}$ 上的概率分布，由 $\mathbb{P}_{n}\left(i\right)=\frac{1}{n}+\varepsilon_{i,n}$ 给出。通过对 $\varepsilon_{i,n}$ 施加一些约束，给出了充分条件以得出 $$\mathbb{P}_{n}\left(m\le n:\omega\left(m\right)-\log\log n\le x\left(\log\log n\right)^{1/2}\right) \to \mathbb{P}\left(Z\le x\right)$$ 当 $n\to\infty.$ 主要结果将被应用于证明：具有 Harmonic$\left(n\right)$ 分布或 Zipf$\left(n,s\right)$ 分布的正整数其不同素因子个数当 $n\to\infty$（以及对于 Zipf 变量当 $s\to1$ 时）也趋于正态分布 $\mathcal{N}\left(\log\log n,\log\log n\right)$。