关于二元Erdős-Kac定理与Möbius函数的相关性

设 $2 \leq y \leq x$ 使得 $\beta := \frac{\log x}{\log y} \rightarrow \infty$。令 $\omega_y(n)$ 表示 $n$ 的不超过 $y$ 的不同素因子 $p$ 的个数，并令 $\mu_y(n) := \mu^2(n)(-1)^{\omega_y(n)}$，其中 $\mu$ 为 Möbius 函数。我们证明，若 $\beta$ 不是太大（关于 $x$ 而言），则对每个固定的 $a \in \mathbb{N}$，\begin{equation*} \sum_{n \leq x} \mu_y(n)\mu_y(n+a) \ll x\left(\frac{1}{\log_2 y} + e^{-\frac{1}{21}\beta \log \beta}\right). \end{equation*} 这可视为朝向二元Chowla猜想的部分结果。我们的主要输入是关于数对 $(\omega(n),\omega(n+a))$ 分布的 Erdős-Kac 定理的定量二元类比，其中 $n$ 和 $n+a$ 均属于具有合适筛性质的正整数子集；此外，我们证明无平方因子整数集是此类集合的一个例子。最后给出了这一概率结果在 Erdős 和 Mirsky 关于满足 $\tau(n) = \tau(n+1)$ 的整数 $n \leq x$ 的个数问题上的进一步应用。