素数因子之间的对偶性与算术进数中的素数定理 -- 高阶对偶性

1977 年, 第一作者观察到整数中最大素因子与最小素因子之间的对偶性, 并以此作为推论建立了关于莫比乌斯函数 $\mu(n)$ 的一些新结果. 在该 1977 年论文中, 观察到涉及第 $k$ 大素因子和第 $k$ 小素因子的高阶对偶性, 这由莫比乌斯函数和 $\omega(n)^{k-1}$ 促成, 其中 $\omega(n)$ 为 n 的不同素因子个数. 2024 年, 第一作者和 Jason Johnson 通过利用 Alladi (1977) 的二阶对偶恒等式, 推出了关于 $\mu(n)$ 和 $\omega(n)$ 的新结果. 本文建立了 Alladi (1977) 和 Alladi-Johnson (2024) 结果的所有高阶 $k$ 的推广, 通过利用 Alladi 1977 年论文中的第 $k$ 阶对偶性. 首先, 我们证明对于每个 $k\geq 2$, 有 $$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\mu(n)\omega(n)^{k}}{n} =0,$$ 其中 $\mu(n)$ 为莫比乌斯函数, $\omega(n)$ 计算 n 的不同素因子个数. 此外, 利用一般对偶恒等式和算术进数中的素数定理, 我们证明对于满足 $1 \leq j \leq \ell$ 且 $(j,\ell)=1$ 的整数 $j,\ell$ $$\sum_{\substack{n=2 \\ p_1(n) \equiv j\;(mod\;\ell)}}^{\infty} \frac{\mu(n)\omega(n)^{k-1}}{n}=0, \nonumber$$ 对每个 $k \geq 3$; 该结果在 $k=1$ 时由 Alladi (1977) 给出, 在 $k=2$ 时由 Alladi-Johnson (2024) 给出. 我们还将此结果重新表述为如下密度类型定理: 对满足 $1 \leq j \leq \ell$ 且 $(j,\ell)=1$ 的整数 $j,\ell$ $$(-1)^k\sum_{\substack{n=2 \\ p_1(n) \equiv j\;(mod\;\ell)}}^{\infty} \frac{\mu(n){\omega(n)-1 \choose k-1}}{n}=\frac{1}{\varphi(\ell)}, \nonumber$$ 对每个 $k \geq 3$. 本文中的所有结果都以量化形式给出.