阿拉迪公式的对数类比

设 $\mu(n)$ 为莫比亚斯函数。设 $P^-(n)$ 表示整数 $n$ 的最小素因子。1977 年，阿拉迪建立了以下与素数定理的算术进展等价的公式\n\n$$-\sum_{\substack{n\geq 2\\ P^-(n)\equiv \ell ({\rm mod}k)}}\frac{\mu(n)}{n}=\frac1{\varphi(k)}$$\n\n其中 $\varphi$ 为欧拉 totient 函数， $\ell, k\geq$ 且 $(\ell,k)=1$。本文给出阿拉迪公式的对数类比，并给出一个初等证明。