达到 1 所需的 Carmichael lambda 函数迭代次数

Carmichael lambda 函数 $\lambda(n)$ 定义为满足对所有 $(a,n)=1$ 均有 $a^m \equiv 1 \pmod{n}$ 的最小正整数 $m$。$\lambda_k(n)$ 定义为 $\lambda(n)$ 的第 $k$ 次迭代。设 $L(n)$ 为使 $\lambda_k(n)=1$ 的最小 $k$ 值。易证 $L(n) \ll \log n$。据猜想 $L(n)\asymp \log\log n$，但此前对于几乎所有 $n$，尚不知其是否为 $o(\log n)$。我们将证明，对于几乎所有 $n$，存在某个 $\delta <1$ 使得 $L(n) \ll (\log n)^{\delta}$。我们还将证明对于几乎所有 $n$ 有 $L(n) \gg \log\log n$，并猜想 $L(n)$ 的正规阶。