关于 Lucas 序列的判别数

我们考虑由 $U_{n+2}(k)=(4k+2)U_{n+1}(k) -U_n(k)$ 唯一确定的 Lucas 序列族，其初值为 $U_0(k)=0$ 和 $U_1(k)=1$，其中 $k\ge 1$ 为任意整数。对于任意整数 $n\ge 1$，$U_n(k)$ 的判别数函数 $\mathcal{D}_k(n)$ 定义为使得 $U_0(k),U_1(k),\ldots,U_{n-1}(k)$ 模 $m$ 两两不同余的最小整数 $m$。Shallit 对 $\mathcal{D}_k(n)$ 的数值计算表明其具有相对简单的刻画。本文将通过证明对于每个 $k\ge 1$ 存在常数 $n_k$，使得对于所有 $n\ge n_k$，$\mathcal{D}_{k}(n)$ 具有简单的刻画，从而证明情况确实如此。结果表明，$k=1$ 的情况与 $k>1$ 的情况存在根本差异。