关于 Lucas 序列的判别器。II

Shallit 序列族由满足递推关系 $U_{n+2}(k)=(4k+2)U_{n+1}(k) -U_n(k)$、初值 $U_0(k)=0$ 与 $U_1(k)=1$ 且 $k\ge 1$ 任意的 Lucas 序列组成。对每个固定的 $k$，整数 $\{U_n(k)\}_{n\ge 0}$ 互不相同，因此对每个 $n\ge 1$ 存在最小整数 $D_k(n)$（称为判别器），使得 $U_0(k),U_1(k),\ldots,U_{n-1}(k)$ 模 $D_k(n)$ 两两不同余。在部分 I 中已证明存在常数 $n_k$，使得对所有 $n\ge n_k$，$D_{k}(n)$ 具有简单刻画。此处我们研究不遵循该刻画的值，并利用 Matveev 定理与 Koksma-Erdos-Tur\'an 不等式给出 $n_k$ 的上界。我们对所有 $n\ge 1$ 以及自然密度为 $68/75$ 的整数集 $k$ 完全确定了判别器 $D_{k}(n)$。我们还修正了部分 I 中定理 3 陈述中的一个遗漏。