关于卢卡斯序列的出现指数

设 $\mathbf{u} = (u_n)_{n \geq 0}$ 为卢卡斯序列，即满足 $u_0 = 0$、$u_1 = 1$ 且对每整数 $n \geq 2$ 有 $u_n = a_1 u_{n - 1} + a_2 u_{n - 2}$ 的整数序列，其中 $a_1$ 和 $a_2$ 为固定的非零整数。对每个满足 $p \nmid 2a_2D_{\mathbf{u}}$ 的素数 $p$（其中 $D_{\mathbf{u}} := a_1^2 + 4a_2$），令 $\rho_{\mathbf{u}}(p)$ 为 $p$ 在 $\mathbf{u}$ 中的出现秩，即满足 $p \mid u_k$ 的最小正整数 $k$。众所周知 $\rho_{\mathbf{u}}(p)$ 存在且 $p \equiv \big(D_{\mathbf{u}} \mid p \big) \pmod {\rho_{\mathbf{u}}(p)}$，其中 $\big(D_{\mathbf{u}} \mid p \big)$ 为勒让德符号。定义 $p$ 在 $\mathbf{u}$ 中的出现指数为 $\iota_{\mathbf{u}}(p) := \left(p - \big(D_{\mathbf{u}} \mid p \big)\right) / \rho_{\mathbf{u}}(p)$。对每个正整数 $t$ 和每个 $x > 0$，令 $\mathcal{P}_{\mathbf{u}}(t, x)$ 为满足 $p \leq x$、$p \nmid 2a_2 D_{\mathbf{u}}$ 且 $\iota_{\mathbf{u}}(p) = t$ 的素数集合。在广义黎曼假设下，并对 $\mathbf{u}$ 作某些温和假设，我们证明对所有正整数 $t$ 和所有 $x > t^3$ 有 \begin{equation*} \#\mathcal{P}_{\mathbf{u}}(t, x) = A\, F_{\mathbf{u}}(t) \, G_{\mathbf{u}}(t) \, \frac{x}{\log x} + O_{\mathbf{u}}\!\left(\frac{x}{(\log x)^2} + \frac{x \log (2\log x)}{\varphi(t) (\log x)^2}\right) , \end{equation*} 其中 $A$ 为阿廷常数，$F_{\mathbf{u}}(\cdot)$ 为积性函数，$G_{\mathbf{u}}(\cdot)$ 为周期函数（这两个函数均可由 $\mathbf{u}$ 有效计算）。此外，我们给出了若干显式例子与数值数据。