指数及其素因子

我们提出了二阶线性递归序列经典出现指数的一种新解释。它源于公式 $$C_{n}(t)-2 = \frac{\Delta}{Q^{n}} L_n^2, \quad \text{其中} \ t = (T^2-2Q)/Q, \ \Delta = T^2-4Q,$$ 该公式将第一类切比雪夫多项式 $C_n(x)$ 与由整数 $T, Q \neq 0$ 定义的卢卡斯序列 $L_{n+1} = T L_n - Q L_{n-1}, \ L_0=0, \ L_1 = 1$ 联系起来。我们基于文献[L-W]的结果，证明了对于任何素数 $r \geq 2$，集合 $\Pi_j(t,r), j=1,2,\ldots$（其中 $j$ 是整除出现指数的 $r$ 的最高次幂）的素数密度为 $\frac{1}{(r+1)r^{j-1}}$，对于 $r$-一般的 $t$ 值。我们还给出了非一般情况的完整枚举以及相应的密度公式。这改进了Lagarias [L] 和 Ballot [B1], [B2], [B3] 关于“有限阶”序列的素因子集合的工作。我们的方法足以证明，对于任何二阶线性递归序列（除了一些平凡情况），不整除任何项的素数的集合包含一个正密度的子集。我们还考虑了算术动力学中的应用。