微分代数幂级数 Taylor 系数的算术性质

设 $f=\sum_{n=0}^\infty f_n x^n \in \overline{\mathbb Q}[[x]]$ 为满足代数微分方程 $Q(x,y(x), \ldots, y^{(k)}(x))=0$ 的解，其中 $Q$ 为系数在 $\overline{\mathbb Q}$ 的多元多项式。序列 $(f_n)_{n\ge 0}$ 满足一个非线性递推式，其表达式涉及一个次数为 $s$ 的多项式 $M$。当方程为线性时，$M$ 为其在原点的指数多项式。我们证明当 $M$ 在 $\mathbb Q$ 中可分解时，存在两个正整数 $\delta$ 和 $\nu$，使得 $f_n$ 的分母在所有 $n\ge 0$ 时都整除 $\delta^{n+1}(\nu n+\nu)!^{2s}$，这在线性方程情形下的一个已知性质的推广。该结果在此情形下证明了马赫尔猜想的一个强形式，即 P\'olya--Popken 对 $f_n$ 分母的上界 $n^{\mathcal{O}(n\log(n))}$ 并非最佳。我们还使 Sibuya 和 Sperber 的下界 $|f_n|_v\le e^{\mathcal{O}(n)}$（对 $\overline{\mathbb Q}$ 的所有有限素点 $v$）在此情形下显式化。我们的方法完全有效，基于对上述非线性递推式的详细 $p$ 进制分析。最后，我们给出若干微分代数函数的实例，其中 $M$ 在 $\mathbb Q$ 中可分解，包括 Weierstra\ss 的椭圆函数 $\wp$ 函数、Painlev\'e 方程的解以及 Lagrange 对开普勒方程的解。