一类非线性微分-差分方程的整体解

微分方程、差分方程或微分-差分方程存在足够多的有限阶亚纯解，似乎是可积性的良好指示。本文研究形如 \begin{equation*} f(z)^{n}+L(z,f)=q(z)e^{p(z)},\eqno(*) \end{equation*} 的非线性微分-差分方程，其中 $n\geq 2$，$L(z,f)(\not\equiv 0)$ 是 $f(z)$ 的线性微分-差分多项式，其系数为小函数，$p(z)$ 与 $q(z)$ 为非零多项式。我们首先在方程 (*) 具有超阶 $\sigma_{2}(f)<1$ 的超越整解之假设下，得到 $n=2$ 且 $f(z)$ 满足 $\overline{\lambda}(f)=\sigma(f)=\deg p(z)$。进而，当 $p(z)=a, q(z)=b$、$\eta$ 为常数，且 $L(z,f)=g(z)f(z+\eta)+h(z)f^{'}(z)+u(z)f(z)+v(z)$ 为以多项式系数 $g(z), h(z), u(z), v(z)$ 构成的 $f(z)$ 的线性微分-差分多项式并满足 $L(z,f)\not\equiv 0$ 与 $a b \eta\neq 0$ 时，给出方程 (*) 解的精确形式。