一阶常微分方程解的模量问题研究

设 $P(z)=z^{n}+a_{n-2}z^{n-2}+\cdots+a_0$ 为一个非常多项式，$S(z)$ 为一个非零有理函数，记 $h(z)=S(z)e^{P(z)}$。设 $\theta\in(0,\pi/2n)$ 为一个常数，$\varepsilon>0$ 为一个小常数。若 $f(z)$ 是一阶常微分方程 $f'(z)=h(z)f(z)+1$ 的解，则存在序列 $\{r_{k}\}$，使得集合 $E=\cup_{l=0}^{\infty}[r_{2l},r_{2l+1}]$ 拥有无限的对数测度，且对所有 $r\in E$，有 \begin{equation}\tag{\dag} \begin{split} |f(re^{i\theta})|\geq (1-\varepsilon)\frac{\sqrt[n]{\sin n\theta}}{n}r\exp\left(e^{(1-\varepsilon)r^n\cos n\theta}\sin\varepsilon\right). \end{split} \end{equation} 当 $h(z)=e^{z}$ 时，亦给出其他 $r$ 值 $|f(re^{i\theta})|$ 的下界。式 $(\dag)$ 表明函数 $f(z)$ 的 hyper-order $\varsigma(f)$ 等于 $n$，为 Br"{u}ck 在亚 meromorphic 函数唯一性理论中的猜想提供了部分答案。该方法的扩展还给出了 Hayman 自治情形下一阶代数常微分方程全解增长阶的完整描述。